¿Qué es el Principio de Saint-Venant?

Este principio debe su nombre gracias al físico y Matemático francés Jean Claude Saint-Venant y considero que es uno de los conceptos más importantes al momento de la conceptualización de un modelo estructural basado en el método del elemento finito.

Formalmente el principio establece lo siguiente:

En el ámbito del análisis por elementos finitos se puede resumir como:

Si tienes diferentes esquemas de aplicación de cargas y condiciones de borde en un modelo, los resultados van a ser similares en zonas suficientemente alejadas de las regiones donde esta aplicada la correspondiente carga o condición de borde.

Es decir, si pensaste colocar un soporte restringiendo los GDL en los nodos requeridos en una porción del modelo o aplicar restricciones cinemáticas tipo MPC, los resultados solo serán distintos o estarán distorsionados localmente en la cercanía donde se encuentren aplicados dichos soportes. Eso sí, en ambas situaciones el efecto de las condiciones de borde deben generar reacciones de fuerzas que sean estáticas y equivalentes entre sí.

Esto ocurre de igual manera con cualquier estrategia de aplicación de cargas. Si piensas que aplicar una fuerza distribuida sobre una línea de un modelo 3D o distribuida sobre una superficie van a ser distintos, tienes razón y a la vez no tanto. Van a ser distintos si analizas los resultados muy cerca de la zona donde se aplica la carga, pero van a ser similares (solo por no usar el termino iguales o casi idénticos) si observas el patrón de resultados a medida que te alejas de la zona en discusión. Este efecto se debe precisamente al principio de Saint-Venant.

Descripción del caso

En este ejemplo resolvemos un caso de flexión simple: una viga simplemente apoyada en sus extremos con una carga localizada en el centro del claro. Las dimensiones generales y propiedades la observas en la imagen a continuación (puedes atreverte a repetir esta experiencia o descargar el archivo completo para tu revisión). Trabajaré con un modelo con elementos Shell simplemente para reducir el costo computacional y poder hacer análisis de convergencia de mallado.

Modelo analítico y resultados

Se trata de una viga simplemente apoyada en sus extremos que con una carga puntual aplicada en el centro del claro de la viga. Despreciemos cualquier problema de inestabilidad como pandeo local o lateral- torsional de la viga para analizar este caso.

La solución analítica de este modelo se encuentra ampliamente reportado y discutido en la literatura. Acá te resumo los resultados típicos que utilizaré para hacer la comparación de resultados con los obtenidos en el modelo FEA.

Modelo por elementos finitos

He preparado el modelo con elementos Shell, principalmente por un tema de simplicidad. A nivel de geometría he seccionado las distintas superficies, ya pensando en la estrategia de aplicación de cargas y facilitar el mallado de las partes. Tanto el alma como las alas están conectadas a nivel nodal, teniendo nodos comunes, de esta manera no incluiremos condiciones de contacto como una variable adicional en este ejemplo.

Condiciones de borde

Para no complicar el análisis de los resultados entres los tres modelos planteados, he aplicado iguales condiciones de borde cinemáticas, restringiendo los grados de libertad como se indica en la figura, para de esta manera representar las condiciones de borde de apoyo simple en una viga.

Resultados y análisis

El primer resultado a analizar será la distribución de esfuerzos a lo largo de la sección transversal en la mitad de la viga, donde predecimos los esfuerzos máximos por flexión y “casualmente” se encuentra aplicada la carga. Esperamos una distribución de esfuerzos simétrica respecto al eje neutro, en especial alejada del agujero en el alma, que lo he incluido para analizar su efecto de cara al principio de Saint-Venant. En el ala inferior, sometida a tracción, se obtiene una muy buena aproximación respecto al valor analítico de +28,5 MPa en los tres modelos, sin embargo, en el ala superior ninguno de los tres modelos se aproxima por debajo del 40% respecto al esfuerzo esperado.

En el modelo 1 si se obtiene el valor de resultado en el ala inferior cercano a 28,5 MPa, sin embargo, dada esta estrategia de fuerza aplicada en un punto (o un nodo) el resultado se distorsiona de tal manera que los valores máximos y mínimos se presentan localmente en el ala superior, cuestión que detallamos al analizar y comparar con el valor esperado.

Si sobre la misma zona graficamos la distribución de esfuerzos a lo largo de una línea vertical a través del alma, observamos para los tres modelos que la distribución presenta un patrón lineal a medida que nos acercamos al ala inferior, y por el contrario se va perdiendo el patrón lineal a medida que nos acercamos al ala superior, zona donde está aplicada la carga en los tres modelos.

En la siguiente imagen observamos que los tres modelos presentan resultados muy similares (+28,5 MPa) y acordes a lo esperado en el modelo analítico. Sin embargo, esto no ocurre en la cercanía del ala superior (zona de carga), obteniendo una variación significativa de los tres modelos respecto al valor esperado analíticamente superior al 40%.

Si repetimos esta medición, pero a 1 m alejados del centro de la viga (es decir a 3 m desde el soporte de la izquierda) y graficamos nuevamente, estaríamos obteniendo en los tres modelos el mismo resultado, con una variación inferior al 1% respecto al valor esperado (14,27 MPa), lo cual es completamente aceptable para nosotros como ingenieros. Pero ¿Por qué obtenemos resultados muy buenos en una zona y no tan buenos en otra zona?, muy simple ¡Es el principio de Saint-Venant en acción!

¿Por qué ocurre esto?

Ocurre principalmente como consecuencia del principio de Saint-Venant. Ninguno de los tres enfoques de aplicación de carga es el correcto, pero tampoco están equivocados, son enfoques estáticamente equivalentes y por ende válidos si entendemos su influencia en los resultados. En este ejemplo he presentado tres enfoques distintos, tu podrías proponer un 4to o 5to enfoque e igualmente obtener resultados similares, eso sí, siempre y cuando respetes la condición de equivalencia estática.

Si analizamos las diferencias en el patrón de distribución de esfuerzos en los tres modelos en la figura a continuación, observamos que son muy parecidos, siempre evaluándolos con la misma escala gráfica (por eso de comparar peras con peras y manzanas con manzanas).

¿Observas alguna diferencia notable? Sí, el patrón de esfuerzos se distorsiona ligeramente a medida que nos acercamos a la zona donde se aplicó la carga en el ala superior. Por ejemplo, es más notable en el modelo con la carga puntual y muy similar en los otros dos, con una carga distribuida. Al ser tres enfoques distintos, los tres presentarán un nivel de incertidumbre a medida que nos acercamos a dicha zona.

Ni siquiera en la zona donde está el agujero en el alma la distribución es diferente, de hecho, no confundamos la perturbación que genera el agujero en el patrón de esfuerzos, con la perturbación que puede generar la aplicación de una determinada carga o condición de borde, ambos obedecen a causas distintas. La primera porque es una discontinuidad del medio, y la segunda porque obedece a la cercanía de una condición de borde.

Conscientes del efecto que tendrá cualquier condición de borde en su cercanía, es posible identificar una zona de acción a partir de la cual los resultados no se verán afectados, disminuyendo la incertidumbre asociada en el modelo. En este problema, ¿Puedes identificar aproximadamente esa distancia mínima lo suficientemente alejada?, responder esto, es nuestro reto en una simulación.

El principio de Sain-Venant es un concepto que nos brinda flexibilidad al momento de decidir sobre la mejor estrategia para aplicar una carga o condición de borde. Así como ganar ese know-how de poder anticiparte al efecto que un determinado enfoque pueda ejercer en los resultados. Aplicar una carga en un nodo (puntual) no está mal, pero aparte de la singularidad que obtendrás, la distribución de esfuerzos en la cercanía se desviará del resultado real esperado, ya que finalmente las cargas puntuales en el mundo real no existen, pero si distribuidas en zonas pequeñas, siendo este tema de otro análisis. Entre el modelo 2 y 3 ambos funcionaron muy bien, sabemos que igual presentan incertidumbre, ya sería por un tema de jerarquía si decides escoger el enfoque del modelo 2 respecto al del modelo 3.

Conclusion: El principio de Saint-Venant es importante

Entender este principio y aplicarlo en el mundo de las simulaciones computacionales (especialmente en análisis estructural por elementos finitos) es tan importante como manejar los conceptos de esfuerzos y deformaciones, o reconocer la diferencia entre un esfuerzo normal de uno cortante. Considero que tener en cuenta este principio, es un "deber" al momento de analizar cualquier resultado de un modelo estructural.

Hace la diferencia entre poder discernir si estas conceptualizando adecuadamente el problema físico real con tu percepción de este y si lo estás representando adecuadamente en un modelo numérico.

Sin embargo, conocer el principio no nos exime de un mal análisis o una interpretación incorrecta, no solo de los resultados sino también del problema que estás analizando. Si no entiendes la naturaleza del problema físico, no podrás representarlo de manera aproximada con ninguna estrategia, por lo que no puedes escudarte en el principio de Saint-Venant para cubrir cualquier error humano en una mal interpretación de la data que has obtenido. Es una herramienta, depende de nosotros como ingenieros hacer un uso adecuado de ella.

Te invito a ver el video que he publicado donde desarrollo lo expuesto en este artículo y comento detalles adicionales sobre el Principio de Saint-Venant. Te leo en los comentarios.